已知f(x)=ax^2+(2a-3)x+a+1与X轴的焦点至少有一个在原点的右侧,求实数a的取值范围

错啦!
不信,带个3/4试一试.无实数解.
正解:
一:当a=0时,f(x)=-3x+1,交x轴于(1/3,0),满足
二:当a≠0时,
Δ=(2a-3)^2-4a(a+1)=-16a+9≥0
得a≤9/16
i当a=9/16时,f交x轴于(5/3,0)满足
ii当a<9/16时,由f与X轴的焦点至少有一个在原点的右侧,可得
(3-2a+√Δ)/2a>0,
当a<0时,由分子<0,解得a<-1
当a>0时,由分子>0且a<9/16,解得0<a<9/16
综上所诉,a∈(-∞,-1)∪(0,9/16)

解：⒈当a=0的时候，f(x)=1-3x，其与x轴的交点横坐标x=1/3＞0。
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⒉当a＞0，f(x)是一个开口向上的抛物线，且对称轴x=-(2a-3)/2a=3/2a-1；
①若3/2a-1＞0，则f(x)min=[a+1-(2a-3)²/4a]＜0即可满足条件【抛物线图象是对称轴x＞0，抛物线顶点在x轴以下，则无论如何都存在抛物线与x轴的右交点在原点右侧。】
解这组不等式：-9/16＜a＜1，与a＞0求交集则有：0＜a＜1；

②若3/2a-3＜0，则只需要f(0)＜0即可满足条件【抛物线图象是对称轴＜0，与y轴的交点f(0)＜0，则与x轴的交点可落在原点右侧】
解这组不等式：a＜-1，与a＞0的交集是空集。
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⒊当a＜0，f(x)是一个开口向下的抛物线，且对称轴x=-(2a-3)/2a=3/2a-1。

则3/2a-1＜0，则需要f(0)＞0，解这组不等式：-1＜a＜0。
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★对⒈⒉⒊求并集，可知：a∈(-1,1)。